En mathématiques, l'affacturage est l'acte de trouver les nombres ou les expressions qui se multiplient pour former un nombre ou une équation donnés. L'affacturage est une compétence utile à apprendre pour résoudre des problèmes d'algèbre de base. la capacité de prendre en compte de manière compétente devient presque essentielle lorsque l'on traite des équations quadratiques et d'autres formes de polynômes. La factorisation peut être utilisée pour simplifier les expressions algébriques pour simplifier la résolution. L'affacturage peut même vous permettre d'éliminer certaines réponses beaucoup plus rapidement que vous ne pourriez le faire en résolvant manuellement.

Méthode One of Three:
Numéros de factorisation et expressions algébriques de base

  1. 1 Comprendre la définition de l'affacturage lorsqu'il est appliqué à des numéros uniques. L'affacturage est conceptuellement simple, mais en pratique, il peut s'avérer difficile lorsqu'il est appliqué à des équations complexes. De ce fait, il est plus facile d’aborder le concept de la factorisation en commençant par des nombres simples, puis de passer à des équations simples avant de passer à des applications plus avancées. Un numéro donné facteurs sont les nombres qui se multiplient pour donner ce nombre. Par exemple, les facteurs 12 sont 1, 12, 2, 6, 3 et 4, car 1 × 12, 2 × 6 et 3 × 4 sont tous égaux à 12.
    • Une autre façon de penser à cela est que les facteurs d'un nombre donné sont les nombres par lesquels il est divisibles.
    • Pouvez-vous trouver tous les facteurs du nombre 60? Nous utilisons le nombre 60 à des fins très diverses (minutes par heure, secondes par minute, etc.) car il est divisible par un nombre assez large de nombres.
      • Les facteurs de 60 sont 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 et 60.
  2. 2 Comprenez que les expressions variables peuvent également être factorisées. Tout comme les nombres uniques peuvent être pris en compte, les variables à coefficients numériques peuvent également être prises en compte. Pour ce faire, il suffit de trouver les facteurs du coefficient de la variable. Savoir comment factoriser les variables est utile pour simplifier les équations algébriques dont les variables font partie.
    • Par exemple, la variable 12x peut être écrite comme un produit des facteurs 12 et x. Nous pouvons écrire 12x comme 3 (4x), 2 (6x), etc., en utilisant les facteurs de 12 qui conviennent le mieux à nos besoins.
      • On peut même aller jusqu'à 12x plusieurs fois. En d'autres termes, nous n'avons pas à nous arrêter avec 3 (4x) ou 2 (6x) - nous pouvons factoriser 4x et 6x pour donner 3 (2 (2x) et 2 (3 (respectivement), respectivement. Évidemment, ces deux les expressions sont égales.
  3. 3 Appliquer la propriété distributive de la multiplication pour factoriser les équations algébriques. En utilisant vos connaissances sur la manière de prendre en compte les nombres uniques et les variables avec des coefficients, vous pouvez simplifier les équations algébriques simples en trouvant des facteurs que les nombres et les variables d'une équation algébrique ont en commun. Généralement, pour rendre l’équation aussi simple que possible, nous essayons de rechercher le plus grand facteur commun. Ce processus de simplification est possible grâce à la propriété distributive de la multiplication, qui stipule que pour tout nombre a, b et c, a (b + c) = ab + ac.
    • Essayons un exemple de problème. Pour prendre en compte l'équation algébrique 12 x + 6, essayons d'abord de trouver le plus grand facteur commun de 12x et 6. 6 est le plus grand nombre qui se divise également en 12x et 6, nous pouvons donc simplifier l'équation à 6 1).
    • Ce processus s'applique également aux équations comportant des négatifs et des fractions. x / 2 + 4, par exemple, peut être simplifié à 1/2 (x + 8), et -7x + -21 peut être pris en compte à -7 (x + 3).

Méthode deux sur trois:
Affacturage des équations quadratiques

  1. 1 S'assurer que l'équation est en forme quadratique (hache2 + bx + c = 0). Les équations quadratiques sont de la forme ax2 + bx + c = 0, où a, b et c sont des constantes numériques et a n'est pas égal à 0 (notez qu'une pouvez égal à 1 ou -1). Si vous avez une équation contenant une variable (x) avec un ou plusieurs termes de x à la deuxième puissance, vous pouvez généralement déplacer les termes de l'équation en utilisant des opérations algébriques de base pour obtenir 0 sur un côté de signe égal et ax.2, etc. de l'autre côté.
    • Par exemple, considérons l'équation algébrique. 5x2 + 7x - 9 = 4x2 + x - 18 peut être simplifié à x2 + 6x + 9 = 0, qui est sous la forme quadratique.
    • Equations avec des puissances plus grandes de x, comme x3, X4, etc. ne peuvent pas être des équations quadratiques. Ce sont des équations cubiques, des équations quadratiques, etc., à moins que l’équation puisse être simplifiée pour éliminer ces termes de x supérieurs à la puissance de 2.
  2. 2 Dans les équations quadratiques où a = 1, facteur à (x + d) (x + e), où d × e = c et d + e = b. Si votre équation quadratique est sous la forme x2 + bx + c = 0 (autrement dit, si le coefficient du x2 term = 1), il est possible (mais pas garanti) d'utiliser un raccourci relativement simple pour prendre en compte l'équation. Trouvez deux nombres qui se multiplient tous les deux pour faire c et ajouter pour faire b. Une fois que vous avez trouvé ces deux nombres d et e, placez-les dans l'expression suivante: (x + d) (x + e). Ces deux termes, lorsqu'ils sont multipliés ensemble, produisent votre équation quadratique - en d'autres termes, ils constituent les facteurs de votre équation quadratique.
    • Par exemple, considérons l'équation quadratique x2 + 5x + 6 = 0. 3 et 2 multiplient ensemble pour faire 6 et additionnent aussi pour faire 5, donc nous pouvons simplifier cette équation à (x + 3) (x + 2).
    • De légères variations de ce raccourci de base existent pour de légères variations de l'équation elle-même:
      • Si l'équation quadratique est sous la forme x2-bx + c, votre réponse est sous cette forme: (x - _) (x - _).
      • Si c'est sous la forme x2+ bx + c, votre réponse ressemble à ceci: (x + _) (x + _).
      • Si c'est sous la forme x2-bx-c, vous répondez sous la forme (x + _) (x - _).
    • Note: les chiffres dans les espaces peuvent être des fractions ou des décimales. Par exemple, l'équation x2 + (21/2) x + 5 = 0 facteurs à (x + 10) (x + 1/2).
  3. 3 Si possible, facteur par inspection. Croyez-le ou non, pour les équations quadratiques simples, l'un des moyens acceptés de factoring est simplement d'examiner le problème, puis il suffit de considérer les réponses possibles jusqu'à ce que vous trouviez la bonne. Ceci est également connu sous le nom de factoring par inspection. Si l'équation est dans la forme ax2+ bx + c et a> 1, votre réponse pondérée sera sous la forme (dx +/- _) (ex +/- _), où d et e sont des constantes numériques non nulles qui se multiplient pour faire un. Soit d ou e (ou les deux) pouvez être le numéro 1, bien que ce ne soit pas nécessairement le cas. Si les deux sont 1, vous avez essentiellement utilisé le raccourci décrit ci-dessus.
    • Considérons un exemple de problème. 3x2 - 8x + 4 au premier abord semble intimidant. Cependant, une fois que nous réalisons que 3 n'a que deux facteurs (3 et 1), cela devient plus facile, car nous savons que notre réponse doit être sous la forme (3x +/- _) (x +/- _). Dans ce cas, l'ajout de -2 aux deux espaces vides donne la bonne réponse. -2 × 3x = -6x et -2 × x = -2x. -6x et -2x ajoutent à -8x. -2 × -2 = 4, nous pouvons donc voir que les termes factorisés entre parenthèses se multiplient pour devenir l'équation originale.
  4. 4 Résoudre en complétant le carré. Dans certains cas, les équations quadratiques peuvent être rapidement et facilement pondérées en utilisant une identité algébrique spéciale. Toute équation quadratique de la forme x2 + 2xh + h2 = (x + h)2. Donc, si, dans votre équation, votre valeur b est le double de la racine carrée de votre valeur c, votre équation peut être factorisée à (x + (sqrt (c)))2.
    • Par exemple, l'équation x2 + 6x + 9 correspond à ce formulaire. 32 est 9 et 3 × 2 est 6. Donc, nous savons que la forme factorisée de cette équation est (x + 3) (x + 3), ou (x + 3)2.
  5. 5 Utilisez des facteurs pour résoudre des équations du second degré. Quelle que soit la manière dont vous factorisez votre expression quadratique, une fois prise en compte, vous pouvez trouver des réponses possibles à la valeur de x en définissant chaque facteur sur zéro et en le résolvant. Comme vous recherchez des valeurs de x qui font que votre équation est égale à zéro, une valeur de x qui fait que l'un ou l'autre de vos facteurs soit égal à zéro est une réponse possible pour votre équation quadratique.
    • Revenons à l'équation x2 + 5x + 6 = 0. Cette équation a pris en compte (x + 3) (x + 2) = 0. Si l’un des facteurs est égal à 0, l’équation entière est égale à 0; x + 3) et (x + 2) sont égaux à 0. Ces nombres sont respectivement -3 et -2.
  6. 6 Vérifiez vos réponses - certaines d'entre elles peuvent être superflues! Lorsque vous avez trouvé vos réponses possibles pour x, connectez-les à votre équation d'origine pour voir si elles sont valides. Parfois, les réponses que vous trouvez ne pas faire en sorte que l'équation originale soit égale à zéro lorsqu'elle est rebranchée. Nous appelons ces réponses étranger et les ignorer.
    • Branchez -2 et -3 dans x2 + 5x + 6 = 0. Premièrement, -2:
      • (-2)2 + 5(-2) + 6 = 0
      • 4 + -10 + 6 = 0
      • 0 = 0. C'est correct, donc -2 est une réponse valide.
    • Maintenant, essayons -3:
      • (-3)2 + 5(-3) + 6 = 0
      • 9 + -15 + 6 = 0
      • 0 = 0. Ceci est également correct, donc -3 est également une réponse valide.

Méthode trois sur trois:
Affacturage d'autres formes d'équations

  1. 1 Si l'équation est sous la forme d'un2-b2, le facteur à (a + b) (a-b). Les équations à deux variables sont différentes des quadratiques de base. Pour toute équation a2-b2 où a et b ne sont pas égaux à 0, l'équation est égale à (a + b) (a-b).
    • Par exemple, l'équation 9x2 - 4 ans2 = (3x + 2y) (3x - 2y).
  2. 2 Si l'équation est sous la forme d'un2+ 2ab + b2, le facteur à (a + b)2. Notez que, si le trinôme est sous la forme d'un2-2ab + b2, la forme factorisée est légèrement différente: (a-b)2.
    • L'équation 4x2 + 8xy + 4y2 peut être ré-écrit comme 4x2 + (2 × 2 × 2) xy + 4y2. Nous pouvons maintenant voir que c'est dans la forme correcte, donc nous pouvons dire avec confiance que notre équation compte pour (2x + 2y)2
  3. 3 Si l'équation est sous la forme d'un3-b3, le factoriser en (a-b) (a2+ ab + b2). Enfin, il convient de mentionner que les cubiques et même les équations d’ordre supérieur peuvent être prises en compte, bien que le processus d’affacturage devienne rapidement trop compliqué.
    • Par exemple, 8x3 - 27 ans3 facteurs à (2x - 3y) (4x2 + ((2x) (3y)) + 9y2)