Comment représenter graphiquement une équation quadratique

Lorsque graphées, équations quadratiques de la forme hache² + bx + c ou a (x - h)² + k donner une courbe lisse en forme de U ou inversée en forme de U appelée parabole. Représenter graphiquement une équation quadratique consiste à trouver son sommet, sa direction et, souvent, ses interceptions x et y. Dans le cas des équations quadratiques relativement simples, il peut également suffire de brancher une plage de valeurs x et de tracer une courbe en fonction des points résultants. Voir l'étape 1 ci-dessous pour commencer.

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1. 1 Déterminez quelle forme d'équation quadratique vous avez. L'équation quadratique peut être écrite sous trois formes différentes: la forme standard, la forme de sommet et la forme quadratique. Vous pouvez utiliser l'une ou l'autre forme pour représenter graphiquement une équation quadratique. Le processus de représentation graphique est légèrement différent. Si vous faites un problème de devoirs, vous recevrez généralement le problème sous l'une de ces deux formes - en d'autres termes, vous ne pourrez pas choisir, il est donc préférable de comprendre les deux. Les deux formes d'équation quadratique sont:
   • Forme standard. Sous cette forme, l'équation quadratique s'écrit comme suit: f (x) = ax² + bx + c où a, b et c sont des nombres réels et a n'est pas égal à zéro.
     • Par exemple, deux équations quadratiques de forme standard sont f (x) = x² + 2x + 1 et f (x) = 9x² + 10x -8.
   • Forme de vertex Sous cette forme, l'équation quadratique s'écrit comme suit: f (x) = a (x - h)² + k où a, h et k sont des nombres réels et a n'est pas égal à zéro. La forme du vertex est ainsi nommée car h et k vous donnent directement le sommet (point central) de votre parabole au point (h, k).
     • Deux équations de forme de sommet sont f (x) = 9 (x - 4)² + 18 et -3 (x - 5)² + 1
   • Pour représenter graphiquement l’un de ces types d’équations, il faut d’abord trouver le sommet de la parabole, qui est le point central (h, k) à la pointe de la courbe. Les coordonnées du sommet sous forme standard sont données par: h = -b / 2a et k = f (h), tandis que sous forme de sommet, h et k sont spécifiés dans l'équation.
2. 2 Définissez vos variables. Pour pouvoir résoudre un problème quadratique, les variables a, b et c (ou a, h et k) doivent généralement être définies. Un problème d'algèbre moyenne vous donnera une équation quadratique avec les variables remplies, généralement sous forme standard, mais parfois sous forme de sommet.
   • Par exemple, pour l'équation du formulaire standard f (x) = 2x² + 16x + 39, nous avons a = 2, b = 16 et c = 39.
   • Pour l'équation de forme de sommet f (x) = 4 (x - 5)² + 12, nous avons a = 4, h = 5 et k = 12.
3. 3 Calculer h. Dans les équations de forme de sommet, votre valeur pour h est déjà donnée, mais dans les équations de forme standard, elle doit être calculée. Rappelez-vous que, pour les équations de forme standard, h = -b / 2a.
   • Dans notre exemple de formulaire standard (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b / 2a = -16/2 (2). Résoudre, on trouve que h = -4.
   • Dans notre exemple de forme de sommet (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), nous connaissons h = 5 sans faire aucun calcul.
4. 4 Calculez k. Comme avec h, k est déjà connu dans les équations de forme de sommet. Pour les équations de forme standard, rappelez-vous que k = f (h). En d'autres termes, vous pouvez trouver k en remplaçant chaque occurrence de x dans votre équation par la valeur que vous venez de trouver pour h.
   • Nous avons déterminé dans notre exemple de formulaire standard que h = -4. Pour trouver k, nous résolvons notre équation avec notre valeur pour h remplaçant x:
     • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
     • k = 2 (16) - 64 + 39.
     • k = 32 - 64 + 39 = 7
   • Dans notre exemple de forme de sommet, encore une fois, nous connaissons la valeur de k (qui est 12) sans avoir à faire de calcul.
5. 5 Tracez votre sommet. Le sommet de votre parabole sera le point (h, k) - h spécifie la coordonnée x, tandis que k spécifie la coordonnée y. Le sommet est le point central de votre parabole - soit le fond d'un "U", soit le haut d'un "U" inversé. Connaître le sommet est une partie essentielle de la représentation graphique d'une parabole précise - souvent, dans le travail scolaire, spécifier le sommet sera une partie obligatoire d'une question.
   • Dans notre exemple de formulaire standard, notre sommet sera à (-4,7). Ainsi, notre parabole culminera à 4 cases à gauche des espaces de 0 et 7 au-dessus (0,0). Nous devrions tracer ce point sur notre graphique en veillant à étiqueter les coordonnées.
   • Dans notre exemple de forme de sommet, notre sommet est à (5,12). Nous devrions tracer un point 5 espaces à droite et 12 espaces au-dessus (0,0).
6. 6 Dessine l'axe de la parabole (facultatif). L'axe de symétrie d'une parabole est la ligne qui traverse son milieu et la divise parfaitement en deux. Sur cet axe, le côté gauche de la parabole reflètera le côté droit. Pour quadratiques de la forme ax² + bx + c ou a (x - h)² + k, l'axe est une ligne parallèle à l'axe des y (autrement dit, parfaitement verticale) et passant par le sommet.
   • Dans le cas de notre exemple de formulaire standard, l'axe est une ligne parallèle à l'axe des y et passant par le point (-4, 7). Bien que cela ne fasse pas partie de la parabole elle-même, marquer légèrement cette ligne sur votre graphique peut éventuellement vous aider à voir comment la parabole se courbe symétriquement.
7. 7 Trouvez la direction de l'ouverture. Après avoir déterminé le sommet et l’axe de la parabole, il faut ensuite savoir si la parabole s'ouvre vers le haut ou vers le bas. Heureusement, c'est facile. Si "a" est positif, la parabole s'ouvrira vers le haut, tandis que si "a" est négatif, la parabole s'ouvrira vers le bas (c.-à-d. Qu'elle sera retournée).
   • Pour notre exemple de formulaire standard (f (x) = 2x² + 16x + 39), nous savons que nous avons une parabole qui s'ouvre vers le haut car, dans notre équation, a = 2 (positif).
   • Pour notre exemple de forme de sommet (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), nous savons que nous avons également une parabole ouverte vers le haut car a = 4 (positif).
8. 8 Si nécessaire, recherchez et tracez x interceptions. Souvent, sur le travail scolaire, on vous demandera de trouver les interceptions x d'une parabole (qui sont soit un ou deux points où la parabole rencontre l'axe des x). Même si vous ne les trouvez pas, ces deux points peuvent être précieux pour dessiner une parabole précise. Cependant, toutes les paraboles n'ont pas d'interceptions x. Si votre parabole a un sommet ouvert vers le haut et a un sommet au-dessus de l'axe x ou si elle s'ouvre vers le bas et a un sommet sous l'axe des x, il n'y aura pas d'interceptions x. Sinon, résolvez vos interceptions x avec l'une des méthodes suivantes:
   • Il suffit de définir f (x) = 0 et de résoudre l’équation. Cette méthode peut fonctionner pour des équations quadratiques simples, en particulier sous forme de sommets, mais elle sera extrêmement difficile pour les plus complexes. Voir ci-dessous pour un exemple
     • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
     • 0 = 4 (x - 12)² - 4
     • 4 = 4 (x - 12)²
     • 1 = (x - 12)²
     • SqRt (1) = (x - 12)
     • +/- 1 = x -12. x = 11 et 13 sont les interceptions de la parabole.
   • Facteur votre équation. Quelques équations dans la hache² La forme + bx + c peut facilement être intégrée dans la forme (dx + e) ​​(fx + g), où dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx, et e × g = c. Dans ce cas, vos interceptions x sont les valeurs de x qui rendent les termes entre parenthèses = 0. Par exemple:
     • X² + 2x + 1
     • = (x + 1) (x + 1)
     • Dans ce cas, votre seule interception x est -1, car si vous définissez x sur -1, les termes entre parenthèses sont égaux à 0.
   • Utilisez la formule quadratique. Si vous ne pouvez pas facilement résoudre vos x interceptions ou factoriser votre équation, utilisez une équation spéciale appelée formule quadratique conçu à cet effet. Si ce n'est pas déjà fait, obtenez votre équation dans la forme ax² + bx + c, puis branchez a, b et c dans la formule x = (-b +/- SqRt (b² - 4ac)) / 2a. Notez que cela vous donne souvent deux réponses pour x, ce qui est correct - cela signifie simplement que votre parabole a deux x interceptions. Voir ci-dessous pour un exemple:
     • -5x² + 1x + 10 se branche dans la formule quadratique comme suit:
     • x = (-1 +/- SqRt (1² - 4(-5)(10)))/2(-5)
     • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200)) / - 10
     • x = (-1 +/- SqRt (201)) / - 10
     • x = (-1 +/- 14,18) / - 10
     • x = (13,18 / -10) et (-15,18 / -10). Les x interceptions de la parabole sont approximativement x = -1.318 et 1.518
     • Notre exemple de formulaire standard précédent, 2x² + 16x + 39 se branche dans la formule quadratique comme suit:
     • x = (-16 +/- SqRt (16² - 4(2)(39)))/2(2)
     • x = (-16 +/- SqRt (256 - 312)) / 4
     • x = (-16 +/- SqRt (-56) / - 10
     • Parce que trouver la racine carrée d'un nombre négatif est impossible, nous savons que aucun x intercepte existe pour cette parabole particulière.
9. 9 Si nécessaire, trouvez et tracez l'interception y. Bien qu'il ne soit souvent pas nécessaire de trouver une interception de l'équation (le point où la parabole passe par l'axe des y), vous devrez peut-être le faire, surtout si vous êtes à l'école. Ce processus est assez facile - il suffit de définir x = 0, puis de résoudre votre équation pour f (x) ou y, ce qui vous donne la valeur y à laquelle votre parabole passe par l'axe y. Contrairement aux interceptions x, les paraboles standard ne peuvent intercepter qu'une seule fois. Remarque - pour les équations de forme standard, l'interception y est à y = c.
   • Par exemple, nous connaissons notre équation quadratique 2x² + 16x + 39 a une interception y à y = 39, mais on peut aussi la trouver comme suit:
     • f (x) = 2x² + 16x + 39
     • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39
     • f (x) = 39. L'interception de la parabole est à y = 39. Comme noté ci-dessus, l'ordonnée à l'origine est à y = c.
   • Notre équation de forme de sommet 4 (x - 5)² + 12 a une interception y pouvant être trouvée comme suit:
     • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
     • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
     • f (x) = 4 (-5)² + 12
     • f (x) = 4 (25) + 12
     • f (x) = 112. L'interception de la parabole est à y = 112.
10. 10 Si nécessaire, tracez des points supplémentaires, puis tracez un graphique. Vous devriez maintenant avoir un sommet, une direction, une x interception (s) et, éventuellement, une interception de votre équation. À ce stade, vous pouvez soit essayer de dessiner votre parabole en utilisant les points que vous avez comme guide ou vous pouvez trouver plus de points pour «remplir» votre parabole afin que la courbe que vous dessinez soit plus précise. La méthode la plus simple consiste simplement à brancher quelques valeurs x de chaque côté de votre sommet, puis à tracer ces points en utilisant les valeurs y obtenues. Souvent, les enseignants vous demanderont d’obtenir un certain nombre de points avant de dessiner votre parabole.
    • Revenons à l'équation x² + 2x + 1. Nous savons déjà que sa seule interception x est à x = -1. Comme il ne touche que l’interception x à un moment donné, on peut en déduire que son sommet est son interception x, ce qui signifie que son sommet est (-1,0). Nous n’avons effectivement qu’un seul point pour cette parabole - pas assez pour dessiner une bonne parabole. Trouvons un peu plus pour nous assurer de dessiner un graphique précis.
      • Trouvons les valeurs y pour les valeurs x suivantes: 0, 1, -2 et -3.
      • Pour 0: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Notre point est (0,1).
      • Pour 1: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Notre point est (1,4).
      • Pour -2: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Notre point est (-2,1).
      • Pour -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Notre point est (-3,4).
      • Tracez ces points sur le graphique et tracez votre courbe en forme de U. Notez que la parabole est parfaitement symétrique - lorsque vos points d'un côté de la parabole reposent sur des nombres entiers, vous pouvez généralement vous épargner du travail en réfléchissant simplement un point donné sur l'axe de symétrie de la parabole pour trouver le point correspondant de l'autre côté de la parabole.