Comment intégrer par substitution

Lorsque vous rencontrez une fonction imbriquée dans une autre fonction, vous ne pouvez pas l'intégrer normalement. Dans ce cas, vous devez utiliser la substitution u.

Première partie de trois:
Intégrale indéfinie

1. 1 Déterminez ce que vous utiliserez comme u. Trouver u peut être la partie la plus difficile de la substitution, mais au fur et à mesure que vous vous entraînez, cela deviendra plus naturel. En général, un u-sub correct implique la dérivée de l'annulation d'une partie de l'intégrale. Les intégrales les plus faciles sont celles qui incluent une fonction $\ displaystyle ax$ (tout multiple de $\ displaystyle x$) imbriquées dans une autre fonction élémentaire - dans ces cas, la fonction imbriquée sera u.
   • Considérons l'intégrale $\ displaystyle \ int \ sin (2x) \ mathrm d x.$
   • Ici, la fonction $\ displaystyle 2x$ est imbriqué dans une autre fonction élémentaire, la fonction sinus. Parce que le dérivé de $\ displaystyle 2x$ est juste une constante, nous n'avons pas besoin de nous soucier de l'introduction de variables inutiles. Par conséquent, faites la substitution $\ displaystyle u = 2x.$
2. 2 Trouver du. Prenez la dérivée de u par rapport à x et résolvez pour du.
   • $\ displaystyle \ begin aligné \ frac \ mathrm d \ mathrm d x & = 2 \ \ mathrm d u & = 2 \ mathrm d x \ end aligné$
   • Au fur et à mesure que vous améliorerez votre technique, vous finirez par sauter directement au différentiel au lieu de le résoudre.
3. 3 Réécrivez votre intégrale en termes de u.
   • $\ displaystyle \ int \ sin (2x) \ mathrm d x = \ frac 1 2 \ int \ sin u \ mathrm d u$
   • Ici, nous avons écrit l'intégrale en utilisant du en résolvant pour dx et en le remplaçant. C'est pourquoi il y a un demi-terme supplémentaire (que nous pouvons prendre en compte).
   • Si vous avez une variable qui n'est pas u après avoir remplacé tout ce que vous pouvez avec u et du, il est parfois possible de résoudre pour cette variable en termes de u et de la remplacer. Cela s'appelle la substitution arrière, et l'exemple supplémentaire ci-dessous utilisera une telle substitution.
4. 4 Intégrer.
   • $\ displaystyle \ frac 1 2 \ int \ sin u = - \ frac 1 2 \ cos u + C$
5. 5 Ecrivez votre réponse en fonction de votre variable d'origine. Remplacez-vous par ce que vous définissez comme équivalent à plus tôt.
   • $\ displaystyle - \ frac 1 2 \ cos u + C = - \ frac 1 2 \ cos (2x) + C$
   • Comme nous pouvons le voir, la substitution d'u n'est que l'analogue de la règle de la chaîne du calcul différentiel.

Deuxième partie de trois:
Intégrale définie

1. 1 Déterminez ce que vous utiliserez comme u. Cet exemple montre la u-substitution d'intégrales définies et de fonctions trigonométriques.
   • Considérons l'intégrale $\ displaystyle \ int _ 0 ^ \ pi \ sin ^ 3 \ theta \ mathrm d \ theta.$
   • Notez que cette fonction n'a pas de fonction imbriquée dans une autre fonction que nous pouvons utiliser. Si nous considérons ceci comme une fonction sinusoïdale, le u-sub résultant nous mènera nulle part. Cependant, en utilisant l'identité trigonométrique $\ displaystyle \ sin ^ 2 \ theta = 1- \ cos ^ 2 \ theta,$ nous pouvons réécrire l'intégrale comme $\ displaystyle (1- \ cos ^ 2 \ theta) \ sin \ theta.$
   • Rappeler que $\ displaystyle \ frac \ mathrm d \ mathrm d \ theta \ cos \ theta = - \ sin \ theta.$ Rappelez-vous qu'en général, nous voulons que son différentiel annule une partie de l'intégrale. Dans ce cas, le $\ displaystyle \ sin \ theta.$
   • Par conséquent, faites la substitution $\ displaystyle u = \ cos \ theta.$
2. 2 Trouver du. Prenez le dérivé de u et résolvez pour du.
   • D'en haut, $\ displaystyle \ mathrm d u = - \ sin \ theta \ mathrm d \ theta.$
3. 3 Réécrivez votre intégralité pour que vous puissiez l'exprimer en termes de u. Veillez également à modifier vos limites, puisque vous avez modifié les variables. Pour ce faire, remplacez simplement les limites par votre équation de substitution.
   • $\ displaystyle \ int _ 0 ^ \ pi (1- \ cos ^ 2 \ theta) \ sin \ theta \ mathrm d \ theta = - \ int _ 1 ^ - 1 (1-u ^ 2) \ mathrm d u$
4. 4 L'extra $\ displaystyle \ sin \ theta$ annule soigneusement, mais notez le signe négatif. Maintenant, reconnaître que l’échange des limites annule l’intégrale, nous finissons donc avec une intégrale positive à la fin.
   • $\ displaystyle - \ int _ 1 ^ - 1 (1-u ^ 2) \ mathrm d u = \ int _ - 1 ^ 1 (1-u ^ 2) \ mathrm d vous$
5. 5 Intégrer.
   • L'intégrand est une fonction paire et les limites sont symétriques. Par conséquent, nous pouvons factoriser un 2 et définir la limite inférieure sur 0 pour simplifier les calculs.
   • $\ displaystyle \ begin aligné \ int _ - 1 ^ 1 (1-u ^ 2) \ mathrm d u & = 2 \ int _ 0 ^ 1 ( 1-u ^ 2) \ mathrm d u \ & = 2 \ left (1 - \ frac 1 3 \ right) \ & = \ frac 4 3 \ end alignée$
   • Nous n'avons pas eu besoin de faire cette simplification pour obtenir la réponse correcte, mais pour les intégrales plus compliquées, cette technique est utile pour éviter les erreurs arithmétiques.
   • Notez que nous n'avons pas réécrit notre intégrale en termes de la variable d'origine. Puisque nous avons changé nos limites, les intégrales sont équivalentes.En fin de compte, l'objectif est de résoudre le problème de la manière la plus simple et la plus efficace possible, il n'est donc pas nécessaire de passer plus de temps sur une étape supplémentaire.

Troisième partie de trois:
Exemple supplémentaire

1. 1 Évaluez l'intégrale suivante. Ceci est un exemple plus avancé qui intègre la u-substitution. Dans la partie 1, rappelez-vous que nous avons dit qu'une intégrale après avoir effectué un u-sub ne peut pas annuler les variables d'origine, donc résoudre pour la variable en termes de $\ displaystyle u$ et le remplacement peut être requis. Cela sera également nécessaire dans ce problème.
   • $\ displaystyle \ int _ 0 ^ 2 \ frac x ^ 2 +4 x + 2 \ mathrm d x$
   • On voit que le dérivé $\ displaystyle x ^ 2 +4$ est $\ displaystyle 2x,$ ne pas $\ displaystyle x + 2.$ Si nous essayons de sub-u-sub immédiatement, nous allons nous retrouver avec une expression de plus en plus compliquée, parce que résoudre pour $\ displaystyle x$ en terme de $\ displaystyle u$ se terminera par une racine carrée.
2. 2 Réécrivez le numérateur en complétant le carré. Notez que le numérateur nécessite juste un $\ displaystyle 4x$ pour compléter la place. Si nous ajoutons, puis soustrayons $\ displaystyle 4x,$ c'est-à-dire ajouter 0, nous pouvons réduire le problème à un plus facile à gérer après avoir simplifié.
   • $\ displaystyle \ begin aligné \ int _ 0 ^ 2 \ frac x ^ 2 +4 x + 2 \ mathrm d x & = \ int _ 0 ^ 2 \ frac x ^ 2 + 4 + 4x-4x x + 2 \ mathrm d x \ & = \ int _ 0 ^ 2 \ left (\ frac (x + 2) ^ 2 x + 2 - \ frac 4x x + 2 \ right) \ mathrm d x \ & = \ int _ 0 ^ 2 (x + 2) \ mathrm d x-4 \ int _ 0 ^ 2 \ frac x x + 2 \ mathrm d x \ & = 6-4 \ int _ 0 ^ 2 \ frac x x + 2 \ mathrm d x \ end aligné$
   • Il convient de noter que cette technique d’ajout de 0 est très utile, en particulier dans le contexte de l’achèvement du carré. Puisque 0 est l'identité additive, nous n'avons pas réellement modifié l'intégrale.
3. 3 Faire le u-sub $\ displaystyle u = x + 2$. L'intégrale dans la dernière ligne ci-dessus est peut-être le type d'expression le plus simple où cette sorte de "substitution arrière" est requise - c'est-à-dire résoudre pour $\ displaystyle x$ en terme de $\ displaystyle u$ et brancher cela aussi $\ displaystyle (x = u-2),$ puisque le u-sub n'a pas annulé tous les $\ displaystyle x$ termes. N'oubliez pas de changer vos limites.
   • $\ displaystyle \ begin aligné 6-4 \ int _ 0 ^ 2 \ frac x x + 2 \ mathrm d x & = 6-4 \ int _ 2 ^ 4 \ frac u-2 u \ mathrm d u \ & = 6-4 \ int _ 2 ^ 4 \ left (1 - \ frac 2 u \ right) \ mathrm d u \ end aligné$
4. 4 Évaluer.
   • $\ displaystyle \ begin aligné 6-4 \ int _ 2 ^ 4 \ left (1 - \ frac 2 u \ right) \ mathrm d u & = 6 -4 [u-2 \ ln u] _ 2 ^ 4 \ & = 6-4 [4-2 \ ln 4-2 + 2 \ ln 2] \ & = 6-16 + 8 \ ln 4 + 8-8 \ ln 2 \ & = 8 \ ln 2-2 \ end aligné$