Comment intégrer la fonction Sinc

La fonction sinus cardinale, également connue sous le nom de fonction sinc, est la fonction

$\ displaystyle \ operatorname sinc x = \ begin cases \ dfrac \ sin x x & \ text si x \ neq 0, \\ \ \ 1 & \ text if x = 0. \ end cases$

Cette fonction apparaît fréquemment comme exemple d’évaluation des limites, et il est bien connu que $\ displaystyle \ lim _ x \ à 0 \ frac \ sin x x = 1;$ par conséquent, pourquoi la fonction à 0 est définie comme étant cette valeur limite. Cependant, cette fonction trouve principalement une plus grande applicabilité dans l’analyse des signaux et les domaines connexes. Par exemple, la transformée de Fourier d'une impulsion rectangulaire est la fonction sinc.

L’évaluation de l’intégrale de cette fonction est plutôt difficile car l’anti-primitive de la fonction sinc ne peut être exprimée en termes de fonctions élémentaires. Cela signifie que nous ne pouvons pas appliquer directement le théorème fondamental du calcul. Au lieu de cela, nous utiliserons l'astuce de Richard Feynman consistant à faire la différence sous l'intégrale. Nous montrerons également une solution plus générale utilisant la théorie des résidus.

Méthode One of Two:
Différenciation sous l'intégrale

1. 1 Commencez avec l'intégrale à évaluer. Nous évaluons sur toute la ligne réelle, les limites seront donc l'infini positif et négatif. Ci-dessus, une visualisation de la fonction avec les deux définitions - non normalisée (en rouge) et normalisée (en bleu). Nous évaluerons le non normalisé Fonction sinc.
   • $\ displaystyle \ int _ - \ infty ^ \ infty \ frac \ sin x x \ mathrm d x$
   • Nous voyons dans le graphique que $\ displaystyle \ frac \ sin x x$ est une fonction uniforme, qui peut être confirmée en regardant la fonction ci-dessus. Ensuite, nous pouvons factoriser un 2.
     • $\ displaystyle 2 \ int _ 0 ^ \ infty \ frac \ sin x x \ mathrm d x$
   • L'intégrale ci-dessus avec des bornes de 0 à l'infini est également connue sous le nom de Intégrale de Dirichlet.
2. 2 Définir une fonction $\ displaystyle G (t)$. Le but de définir une telle fonction avec un argument $\ displaystyle t$ est pour que nous puissions travailler avec une intégrale plus facile à évaluer, tout en respectant les conditions de l'intégrale sincère pour des valeurs appropriées de $\ displaystyle t.$ En d'autres termes, mettre le $\ displaystyle e ^ - tx$ terme dans l'intégrale est valide, puisque l'intégrale converge pour tout $\ displaystyle t \ geq 0,$ en mettant $\ displaystyle t = 0$ récupère l'intégrale d'origine. Cette reformulation signifie que nous évaluons en fin de compte $\ displaystyle G (0).$
   • $\ displaystyle G (t) = \ int _ 0 ^ \ infty \ frac \ sin x x e ^ - tx \ mathrm d x$
3. 3 Différencier sous l'intégrale. Nous pouvons déplacer la dérivée sous le signe d'intégration car l'intégrale est prise par rapport à une variable différente. Bien que nous ne justifions pas cette opération ici, elle s’applique largement à de nombreuses fonctions. Garde en tête que $\ displaystyle t$ doit être traitée comme une variable tout au long de l’évaluation, et non comme une constante.
   • $\ displaystyle \ begin aligné \ frac \ mathrm d G \ mathrm d t & = \ frac \ mathrm d \ mathrm d t \ int _ 0 ^ \ infty \ frac \ sin x x e ^ - tx \ mathrm d x \ & = \ int _ 0 ^ \ infty \ frac \ partiel \ partiel t e ^ - tx \ frac \ sin x x \ mathrm d x \ & = - \ int _ 0 ^ \ infty e ^ - tx \ sin x \ mathrm d x \ end aligné$
4. 4 Évaluer $\ displaystyle \ frac \ mathrm d G \ mathrm d t$. C’est en fait l’évaluation de la transformation de Laplace de $\ displaystyle \ sin x.$ La manière la plus élémentaire d’évaluer cette intégrale consiste à utiliser l’intégration par parties, que nous examinons ci-dessous. Voir les conseils pour un moyen plus puissant d'intégrer cela. Faites attention aux panneaux.
   • $\ displaystyle \ begin aligné \ frac \ mathrm d G \ mathrm d t & = e ^ - tx \ cos x \ Big | _ 0 ^ \ infty + \ int _ 0 ^ \ infty te ^ - tx \ cos x \ mathrm d x \ & = e ^ - tx \ cos x \ Big | _ 0 ^ \ infty + \ left [te ^ - tx \ sin x \ Big | _ 0 ^ \ infty + \ int _ 0 ^ \ infty t ^ 2 e ^ - tx \ sin x \ mathrm d x \ droit] \ & = e ^ - tx \ cos x \ Big | _ 0 ^ \ infty + te ^ - tx \ sin x \ Big | _ 0 ^ \ infty -t ^ 2 \ frac \ mathrm d G \ mathrm d t \ end alignée$
   • $\ displaystyle \ frac \ mathrm d G \ mathrm d t (1 + t ^ 2) = (0-1) + (0-0)$
   • $\ displaystyle \ frac \ mathrm d G \ mathrm d t = - \ frac 1 1 + t ^ 2$
5. 5 Intégrer les deux côtés en ce qui concerne $\ displaystyle t$. Cela récupère $\ displaystyle G (t)$ sous une variable différente. L'intégrale étant le différentiel d'une fonction connue, cette évaluation est triviale.
   • $\ displaystyle - \ int \ frac 1 1 + t ^ 2 \ mathrm d t = - \ tan ^ - 1 t + C$
   • Ici, nous reconnaissons que $\ displaystyle G (t) = 0$ comme $\ displaystyle t \ to \ infty$ pour cette intégrale et celle définie à l'étape 2. Cependant, $\ displaystyle \ lim _ t \ à \ infty \ tan ^ - 1 t = \ frac \ pi 2,$ alors $\ displaystyle C = \ frac \ pi 2$ ainsi que.
   • Donc, $\ displaystyle G (t) = - \ tan ^ - 1 t + \ frac \ pi 2.$
6. 6 Évaluez l'intégrale sincère. Maintenant que nous avons $\ displaystyle G (t),$ où $\ displaystyle t \ geq 0,$ nous pouvons substituer 0 pour $\ displaystyle t$ et trouve que $\ displaystyle G (0) = \ frac \ pi 2.$
   • $\ displaystyle G (0) = \ int _ 0 ^ \ infty \ frac \ sin x x \ mathrm d x = \ frac \ pi 2$
   • Enfin, nous rappelons que pour intégrer tous les réels, nous multiplions simplement par 2, comme $\ displaystyle \ operatorname sinc x$ est une fonction uniforme
     • $\ displaystyle \ int _ - \ infty ^ \ infty \ frac \ sin x x \ mathrm d x = \ pi$
   • Cela vaut la peine de mémoriser cette réponse, car elle peut apparaître dans plusieurs contextes.

Méthode deux sur deux:
Théorie des résidus

1. 1 Considérons l'intégrale ci-dessous. Rappeler que $\ displaystyle \ sin x$ est simplement la partie imaginaire de la fonction exponentielle $\ displaystyle e ^ ix.$ Cette intégrale est continue sauf pour la singularité à $\ displaystyle x = 0.$
   • $\ displaystyle \ int _ - \ infty ^ \ infty \ frac e ^ ix x \ mathrm d x$
2. 2 Considérez l'intégralité du contour avec un contour en retrait. Les intégrales impropres les plus faciles évaluées à l’aide de la théorie des résidus utilisent un arc semi-circulaire qui trace la ligne réelle à partir de certaines limites $\ displaystyle -a$ à $\ displaystyle a$ et arcs dans le sens antihoraire retour à $\ displaystyle -a,$ tandis que $\ displaystyle a \ to \ infty.$ Cependant, nous ne pouvons pas l'utiliser à cause du pôle à l'origine. La solution consiste à utiliser un contour en retrait qui fait le tour du pôle.
   • $\ displaystyle \ int _ \ Gamma \ frac e ^ iz z \ mathrm d z$
   • Le contour $\ displaystyle \ Gamma$ est divisé en quatre parties. Nous commençons à partir de $\ displaystyle -a$ et traverser la ligne réelle à un petit nombre $\ displaystyle - \ epsilon.$ Puis un arc de cercle $\ displaystyle \ gamma _ \ epsilon$ avec rayon $\ displaystyle \ epsilon$ va dans le sens des aiguilles d'une montre $\ displaystyle \ epsilon$ sur l'axe réel. Ce contour va ensuite à $\ displaystyle a,$ à partir de laquelle un arc de cercle $\ displaystyle \ gamma _ a$avec rayon $\ displaystyle a$ va dans le sens antihoraire et retour à $\ displaystyle -a.$ La chose importante à noter ici est que cette intégrale n'a aucune singularité dans le contour, et est donc 0. On peut donc écrire ce qui suit.
   • $\ displaystyle \ int _ - a ^ - \ epsilon \ frac e ^ ix x \ mathrm d x + \ int _ \ epsilon ^ a \ frac e ^ ix x \ mathrm d x = - \ int _ \ gamma _ \ epsilon \ frac e ^ iz z \ mathrm d z- \ int _ \ gamma _ a \ frac e ^ iz z \ mathrm d z$
3. 3 Utilisez le lemme de Jordan pour évaluer le $\ displaystyle \ gamma _ a$ intégral. Typiquement, pour que cette intégrale disparaisse, le degré du dénominateur doit être au moins deux plus grand que celui du numérateur. Le lemme de Jordan dit que si une telle fonction rationnelle est multipliée par un $\ displaystyle e ^ iz$ terme, alors le degré du dénominateur ne doit être qu'au moins un plus grand. Par conséquent, cette intégrale disparaît.
   • $\ displaystyle \ int _ \ gamma _ a \ frac e ^ iz z \ mathrm d z = 0$
4. 4 Évaluer le $\ displaystyle \ gamma _ \ epsilon$ intégral.
   • Si vous connaissez les intégrales de contour de $\ displaystyle \ frac 1 z$ impliquant des contours d'arc de cercle, l'exemple implique le fait que l'intégrale dépend de l'angle que traverse l'arc.Dans notre exemple, l'arc est intégré depuis l'angle $\ displaystyle \ pi$ à $\ displaystyle 0$ dans le sens des aiguilles d'une montre. Une telle intégrale sera donc égale $\ displaystyle - \ pi i.$
   • Nous pouvons généraliser ce résultat à des arcs de tous les angles, mais surtout aux résidus. Voir les astuces pour le théorème que cette étape utilise. Le résidu à l'origine se trouve facilement être $\ displaystyle \ operatorname Res (0) = 1.$
     • $\ displaystyle \ lim _ \ epsilon \ à 0 ^ + \ int _ \ gamma _ \ epsilon \ frac e ^ iz z \ mathrm d z = - \ pi i \ operatorname Res (0) = - \ pi i$
5. 5 Arrivez à la réponse à notre intégrale. Car $\ displaystyle \ epsilon \ à 0$ et $\ displaystyle a \ to \ infty,$ nier notre résultat (voir étape 2) pour arriver à notre réponse.
   • $\ displaystyle \ int _ - \ infty ^ \ infty \ frac e ^ ix x \ mathrm d x = \ int _ - a ^ - \ epsilon \ frac e ^ ix x \ mathrm d x + \ int _ \ epsilon ^ a \ frac e ^ ix x \ mathrm d x = \ pi i$
6. 6 Considérons la partie imaginaire de l’intégrale ci-dessus. Le résultat ci-dessus nous donne vraiment deux résultats réels. Tout d'abord, l'intégrale de la fonction sinc suit immédiatement.
   • $\ displaystyle \ operatorname Im \ int _ - \ infty ^ \ infty \ frac e ^ ix x \ mathrm d x = \ int _ - \ infty ^ \ infty \ frac \ sin x x \ mathrm d x = \ pi$
   • Deuxièmement, l'intégrale d'une fonction associée $\ displaystyle \ frac \ cos x x$ suit également si nous prenons la partie réelle de notre résultat, qui est 0. Cependant, il faut s'y attendre, car cette fonction est étrange.