Comment intégrer des extensions de la fonction gamma

L'article principal sur l'intégration à l'aide de la fonction Gamma décrit comment la fonction Gamma est utilisée pour évaluer des intégrales simples. Lorsque nous incluons la fonction logarithmique et ses pouvoirs, nous ne pouvons plus utiliser directement la fonction Gamma. Cependant, il existe des extensions de séries que nous pouvons utiliser pour évaluer ces types d’intégrales (présentées ci-dessous), dont nous parlerons dans cet article. Au dessous de, $\ displaystyle a, \, b, \, c,$ et $\ displaystyle d$ sont des constantes telles que l'intégrale converge et $\ displaystyle b$ est un nombre entier.

$\ displaystyle \ int _ 0 ^ \ infty x ^ a \ ln ^ b xe ^ - cx ^ d \ mathrm d x$

Première partie de quatre:
Préliminaires

1. 1 Notez l'expansion de la fonction Gamma à partir de sa définition intégrale. Plus précisément, nous voulons écrire $\ displaystyle \ Gamma (1+ \ epsilon),$ où $\ displaystyle \ epsilon$ est un petit nombre, et écrivez sa série Taylor autour $\ displaystyle \ epsilon = 0.$ C'est facile à faire - nous réécrivons simplement $\ displaystyle x ^ \ epsilon = e ^ \ epsilon \ ln x$ et écrivez le terme exponentiel en termes de ses séries de Taylor.
   • $\ displaystyle \ Gamma (1+ \ epsilon) = \ int _ 0 ^ \ infty x ^ \ epsilon e ^ - x \ mathrm d x = \ sum _ n = 0 ^ \ infty \ frac \ epsilon ^ n n! \ Int _ 0 ^ \ infty \ ln ^ n xe ^ - x \ mathrm d x$
2. 2 Notez l'expansion de la fonction Gamma à partir de sa définition de produit infinie. Voir les conseils pour la dérivation. Notez que nous écrivons le logarithme de la fonction Gamma. Au dessous de, $\ displaystyle \ gamma$ est la constante d'Euler-Mascheroni et $\ displaystyle \ zeta (j)$ est la fonction zêta de Riemann.
   • $\ displaystyle \ ln \ Gamma (1+ \ epsilon) = - \ gamma \ epsilon + \ sum _ j = 2 ^ \ infty \ frac (-1) ^ j \ zeta (j) j \ epsilon ^ j$
   • L’utilisation de ces deux expressions différentes a pour but d’équilibrer les coefficients de $\ displaystyle \ epsilon.$ Car $\ displaystyle \ epsilon$ est un petit nombre, nous pouvons sans risque négliger des termes d'ordre supérieur. On peut alors évaluer l'intégrale car l'intégrale fait partie du coefficient d'un $\ displaystyle \ epsilon$ terme.
3. 3 Écrivez la formule de duplication de Legendre. Pour certaines intégrales nécessitant une extension de $\ displaystyle \ Gamma (1/2 + \ epsilon),$ nous pouvons utiliser une formule de duplication pour obtenir des expressions pour $\ displaystyle \ Gamma$ pour lequel nous connaissons les extensions de.^[1] Ci-dessous, nous écrivons la formule explicitement.
   • $\ displaystyle \ Gamma (1/2 + \ epsilon) = \ frac \ sqrt \ pi 2 ^ 2 \ epsilon \ frac \ Gamma (1 + 2 \ epsilon) \ Gamma (1+ \ epsilon)$
   • Cette formule sera utilisée dans l'exemple 2.
4. 4 Écrivez la définition de la fonction digamma. La fonction digamma est la dérivée logarithmique de la fonction Gamma, plus généralement utilisée pour évaluer les types d'intégrales abordés dans cet article.
   • $\ displaystyle \ Psi (z) = \ frac \ mathrm d \ mathrm d z \ ln \ Gamma (z) = \ frac \ Gamma ^ \ prime ( z) \ Gamma (z)$
   • On peut alors utiliser cette fonction pour trouver des coefficients de $\ displaystyle \ epsilon$ dans les expansions de la série Taylor autour de points autres que 1. Nous utiliserons ceci dans l'exemple 3.

Deuxième partie de quatre:
Exemple 1

1. 1 Évaluez l'intégrale ci-dessous. Comme le montre la discussion ci-dessus, les intégrales les plus pertinentes sur lesquelles nous pouvons utiliser les extensions de fonctions Gamma sont des intégrales avec un terme exponentiel décroissant et une fonction logarithmique portée à une puissance entière positive.
   • $\ displaystyle \ int _ 0 ^ \ infty x ^ 3 \ ln ^ 2 xe ^ - x \ mathrm d x$
2. 2 Considérons l'intégrale ci-dessous. L'ajout du $\ displaystyle x ^ 3$ terme signifie que nous devons apporter une légère modification. Nous devrons utiliser $\ displaystyle x ^ 3+ \ epsilon$ au lieu.
   • $\ displaystyle \ begin aligné \ int _ 0 ^ \ infty x ^ 3+ \ epsilon e ^ - x \ mathrm d x & = \ Gamma (4+ \ epsilon ) = (3+ \ epsilon) (2+ \ epsilon) (1+ \ epsilon) \ Gamma (1+ \ epsilon) \ & = \ sum _ n = 0 ^ \ infty \ frac \ epsilon ^ n n! \ int _ 0 ^ \ infty x ^ 3 \ ln ^ n xe ^ - x \ mathrm d x \ end aligné$
3. 3 Développez et écrivez $\ displaystyle \ Gamma (1+ \ epsilon)$ à la 2ème commande. Car $\ displaystyle \ ln ^ 2 x$ dans l'intégrale est en train de prendre le 2e ordre, nous voulons trouver le coefficient de $\ displaystyle \ epsilon ^ 2$ tout en négligeant tous les termes d'ordre supérieur. À cause de la factorielle dans l'expression intégrale, nous finirons par multiplier notre réponse par $\ displaystyle 2! = 2.$ Pour l'instant, nous élargissons d'abord.
   • $\ displaystyle \ begin aligné \ Gamma (4+ \ epsilon) & = (3+ \ epsilon) (2+ \ epsilon) (1+ \ epsilon) \ Gamma (1+ \ epsilon) \ & \ approx 6 \ left (1 + \ frac 11 6 \ epsilon + \ epsilon ^ 2 \ right) e ^ - \ gamma \ epsilon + \ frac \ zeta (2) 2 \ epsilon ^ 2 \ end alignée$
4. 4 Développez la série de Taylor de l'exponentielle au second ordre. Encore une fois, nous négligeons tous les exposants d'ordre supérieur, nous n'avons donc pas besoin d'inclure ces termes.
   • $\ displaystyle \ begin aligné e ^ - \ gamma \ epsilon + \ frac \ zeta (2) 2 \ epsilon ^ 2 & \ approx 1+ \ left (- \ gamma \ epsilon + \ frac \ zeta (2) 2 \ epsilon ^ 2 \ right) + \ frac 1 2! \ gauche (- \ gamma \ epsilon + \ frac \ zeta (2) 2 \ epsilon ^ 2 \ right) ^ 2 \ & \ approx 1- \ gamma \ epsilon + \ frac \ zeta (2) 2 \ epsilon ^ 2 + \ frac \ gamma ^ 2 2 \ epsilon ^ 2 \ end aligné$
5. 5 Combinez les deux termes. Encore une fois, négligez les termes d'ordre supérieur.
   • $\ displaystyle \ begin aligné \ Gamma (1+ \ epsilon) & \ approx 6 \ left (1 + \ frac 11 6 \ epsilon + \ epsilon ^ 2 \ right) \ left (1- \ gamma \ epsilon + \ frac \ zeta (2) 2 \ epsilon ^ 2 + \ frac \ gamma ^ 2 2 \ epsilon ^ 2 \ right) \ & \ approx 6 \ left (1+ \ left (- \ gamma + \ frac 11 6 \ right) \ epsilon + \ left (\ frac \ zeta (2) 2 + \ frac \ gamma ^ 2 2 - \ frac 11 \ gamma 6 + 1 \ right) \ epsilon ^ 2 \ right) \ & \ approx 6+ (11-6 \ gamma) \ epsilon + (3 \ zeta (2) +3 \ gamma ^ 2 -11 \ gamma +6) \ epsilon ^ 2 \ end aligné$
6. 6 Évaluez l'intégrale en assimilant des coefficients. Se souvenir de multiplier le coefficient de $\ displaystyle \ epsilon ^ 2$ à 2 à cause de la factorielle, nous arrivons à notre réponse.
   • $\ displaystyle \ int _ 0 ^ \ infty x ^ 3 \ ln ^ 2 xe ^ - x \ mathrm d x = 6 \ zeta (2) +6 \ gamma ^ 2 -22 \ gamma +12$
   • Notre réponse nous donne également l'intégrale des puissances inférieures du logarithme gratuitement.
     • $\ displaystyle \ int _ 0 ^ \ infty x ^ 3 \ ln xe ^ - x \ mathrm d x = 11-6 \ gamma$
     • $\ displaystyle \ int _ 0 ^ \ infty x ^ 3 e ^ - x \ mathrm d x = 6$
7. 7 Évaluez les intégrales ci-dessous. En utilisant l'exemple ci-dessus, vérifiez les intégrales suivantes en conservant les termes jusqu'à $\ displaystyle \ epsilon ^ 4.$ Les autres intégrales devraient sortir à la suite de l'obtention de la première intégrale. Vous pouvez laisser vos réponses en terme de $\ displaystyle \ zeta.$ Il est intéressant de noter que la dernière intégrale de cette liste apparaît lors du calcul de la transformée de Laplace du logarithme naturel.
   • $\ displaystyle \ int _ 0 ^ \ infty \ ln ^ 4 xe ^ - x \ mathrm d x = 6 \ zeta (4) +8 \ gamma \ zeta (3) +3 \ zeta ^ 2 (2) +6 \ gamma ^ 2 \ zeta (2) + \ gamma ^ 4$
   • $\ displaystyle \ int _ 0 ^ \ infty \ ln ^ 3 xe ^ - x \ mathrm d x = -2 \ zeta (3) -3 \ gamma \ zeta (2 ) - \ gamma ^ 3$
   • $\ displaystyle \ int _ 0 ^ \ infty \ ln ^ 2 xe ^ - x \ mathrm d x = \ zeta (2) + \ gamma ^ 2$
   • $\ displaystyle \ int _ 0 ^ \ infty \ ln xe ^ - x \ mathrm d x = - \ gamma$

Troisième partie de quatre:
Exemple 2: Formule de duplication de Legendre

1. 1 Évaluez l'intégrale ci-dessous. Cet exemple est un excellent exemple d’une intégrale à partir de laquelle nous ne pouvons pas appliquer directement nos techniques, car nous n’avons pas d’extension pour $\ displaystyle \ Gamma (1/2 + \ epsilon).$
   • $\ displaystyle \ int _ 0 ^ \ infty \ sqrt x \ ln ^ 2 xe ^ - x \ mathrm d x$
2. 2 Considérons l'intégrale ci-dessous. Nous commençons par appliquer le traitement standard.
   • $\ displaystyle \ int _ 0 ^ \ infty x ^ 1/2 + \ epsilon e ^ - x \ mathrm d x = \ sum _ n = 0 ^ \ infty \ frac \ epsilon ^ n n! \ int _ 0 ^ \ infty \ sqrt x \ ln ^ n xe ^ - x \ mathrm d x$
   • $\ displaystyle \ int _ 0 ^ \ infty x ^ 1/2 + \ epsilon e ^ - x \ mathrm d x = \ Gamma \ gauche (\ frac 3 2 + \ epsilon \ right) = \ left (\ frac 1 2 + \ epsilon \ right) \ Gamma \ left (\ frac 1 2 + \ epsilon \ right )$
   • Comme on peut le voir, notre calcul implique $\ displaystyle \ Gamma (1/2 + \ epsilon),$ pour lequel nous n'avons pas d'expansion.
3. 3 Utilisez la formule de duplication de Legendre. La façon dont nous contournons cela est en utilisant la formule de duplication. Ce n'est qu'alors que nous écrivons ces fonctions Gamma au second ordre.Nous changeons également la base de $\ displaystyle 2 ^ 2 \ epsilon$ à $\ displaystyle e ^ 2 \ ln 2 \ epsilon$ afin de simplifier l'algèbre.
   • $\ displaystyle \ begin aligné \ Gamma \ left (\ frac 1 2 + \ epsilon \ right) & \ approx \ frac \ sqrt \ pi e ^ - \ gamma (2 \ epsilon) + \ frac \ zeta (2) 2 (2 \ epsilon) ^ 2 e ^ 2 \ ln 2 \ epsilon e ^ - \ gamma \ epsilon + \ frac \ zeta (2) 2 \ epsilon ^ 2 \ & \ approx \ sqrt \ pi e ^ - \ gamma \ epsilon -2 \ ln 2 \ epsilon + \ frac 3 2 \ zeta (2) \ epsilon ^ 2 \ & \ approx \ sqrt \ pi \ left (1- \ gamma \ epsilon -2 \ ln 2 \ epsilon + \ frac 3 2 \ zeta (2) \ epsilon ^ 2 + \ frac 1 2 (\ gamma +2 \ ln 2) ^ 2 \ epsilon ^ 2 \ right) \ end alignée$
4. 4 Multiplier par $\ displaystyle (1/2 + \ epsilon)$. Après avoir simplifié et multiplié par 2 pour tenir compte de la factorielle, nous arrivons à la réponse ci-dessous.
   • $\ displaystyle \ int _ 0 ^ \ infty \ sqrt x \ ln ^ 2 xe ^ - x \ mathrm d x = \ frac \ sqrt \ pi 2 (3 \ zeta (2) + \ gamma ^ 2 +4 \ gamma \ ln 2 + 4 \ ln ^ 2 2-4 \ gamma -8 \ ln 2)$
   • Comme d'habitude, nous obtenons également deux intégrales supplémentaires grâce à notre travail. Ce dernier, bien sûr, est simplement $\ displaystyle \ Gamma (3/2).$
     • $\ displaystyle \ int _ 0 ^ \ infty \ sqrt x \ ln xe ^ - x \ mathrm d x = \ sqrt \ pi \ gauche (1 - \ frac \ gamma 2 - \ ln 2 \ right)$
     • $\ displaystyle \ int _ 0 ^ \ infty \ sqrt x e ^ - x \ mathrm d x = \ frac \ sqrt \ pi 2$

Partie quatre de quatre:
Exemple 3: Fonction Digamma

1. 1 Évaluez l'intégrale ci-dessous. L'exposant sur le terme de puissance est 1/3 au lieu de 1/2, ce qui signifie que nous ne pouvons pas utiliser la formule de duplication de Legendre.
   • $\ displaystyle \ int _ 0 ^ \ infty x ^ 1/3 \ ln xe ^ - x \ mathrm d x$
2. 2 Considérons l'intégrale ci-dessous. Comme d'habitude, nous considérons l'intégrale alternative et la réécrivons dans une série de Taylor. Comme la puissance sur le journal est 1, nous devons trouver le coefficient de $\ displaystyle \ epsilon.$
   • $\ displaystyle \ int _ 0 ^ \ infty x ^ 1/3 + \ epsilon e ^ - x \ mathrm d x = \ sum _ n = 0 ^ \ infty \ frac \ epsilon ^ n n! \ int _ 0 ^ \ infty \ ln ^ n xe ^ - x \ mathrm d x$
   • $\ displaystyle \ int _ 0 ^ \ infty x ^ 1/3 + \ epsilon e ^ - x \ mathrm d x = \ left (\ frac 1 3 + \ epsilon \ right) \ Gamma \ left (\ frac 1 3 + \ epsilon \ right)$
3. 3 Utilisez la fonction digamma pour écrire $\ displaystyle \ Gamma (1/3 + \ epsilon)$ à la première commande. C'est facile - nous élargissons simplement en utilisant les séries de Taylor, en notant le fait que $\ displaystyle \ Gamma ^ \ prime (1/3) = \ Gamma (1/3) \ Psi (1/3).$
   • $\ displaystyle \ Gamma (1/3 + \ epsilon) \ approx \ Gamma (1/3) + \ gauche (\ Gamma (1/3) \ Psi (1/3) \ droite) \ epsilon$
   • $\ displaystyle (1/3 + \ epsilon) \ Gamma (1/3 + \ epsilon) \ approx \ frac 1 3 \ Gamma (1/3) + \ gauche [\ frac 1 3 \ Gamma (1/3) \ Psi (1/3) + \ Gamma (1/3) \ droite] \ epsilon$
   • Il se trouve qu'il existe des méthodes de calcul des valeurs exactes pour certains arguments rationnels de la fonction digamma. Cependant, nous ne les aborderons pas ici. La valeur spécifique de $\ displaystyle \ Psi (1/3)$ peut être trouvé exactement et est donné ci-dessous.
     • $\ displaystyle \ Psi (1/3) = - \ gamma - \ frac \ sqrt 3 \ pi 6 - \ frac 3 2 \ ln 3$
4. 4 Évaluez en comparant les coefficients. Notez que nous obtenons l'intégrale avec le pouvoir inférieur gratuitement. Bien sûr, par définition, l’intégrale est égale à $\ displaystyle \ Gamma (4/3).$
   • $\ displaystyle \ int _ 0 ^ \ infty x ^ 1/3 \ ln xe ^ - x \ mathrm d x = \ frac 1 3 \ Gamma (1/3) \ Psi (1/3) + \ Gamma (1/3)$
   • $\ displaystyle \ int _ 0 ^ \ infty x ^ 1/3 e ^ - x \ mathrm d x = \ frac \ Gamma (1/3) 3$