Comment intégrer par pièces

L'intégration par parties est une technique utilisée pour évaluer les intégrales où l'intégrale est le produit de deux fonctions.

$\ displaystyle \ int f (x) g (x) \ mathrm d x$

Les intégrales qui seraient autrement difficiles à résoudre peuvent être simplifiées grâce à cette méthode d'intégration.

Première partie de quatre:
Intégrale indéfinie

1. 1 Considérons l'intégrale ci-dessous. Nous voyons que l’intégrand est un produit de deux fonctions, il est donc idéal pour nous d’intégrer par pièces.
   • $\ displaystyle \ int xe ^ x \ mathrm d x$
2. 2 Rappelez-vous la formule d'intégration par parties. Cette formule est très utile dans le sens où elle nous permet de transfert la dérivée d'une fonction à une autre, au prix d'un signe moins et d'un terme limite.
   • $\ displaystyle \ int u \ mathrm d v = uv- \ int v \ mathrm d u$
3. 3 Choisis un $\ displaystyle u$ et $\ displaystyle \ mathrm d v,$ et trouver le résultat $\ displaystyle \ mathrm d u$ et $\ displaystyle v$. Nous choisissons $\ displaystyle u = x$ parce que son dérivé de 1 est plus simple que le dérivé de $\ displaystyle e ^ x,$ qui n'est que lui-même Cela se traduit par $\ displaystyle \ mathrm d v = e ^ x \ mathrm d x,$ dont l'intégrale est triviale.
   • $\ displaystyle \ mathrm d u = \ mathrm d x$
   • $\ displaystyle v = e ^ x$
   • En général, l’intégration de pièces est une technique qui vise à convertir une intégrale en une plus simple à intégrer. Si vous voyez un produit de deux fonctions où l’on est un polynôme, alors le réglage $\ displaystyle u$ être le polynôme sera très probablement un bon choix.
   • Vous pouvez négliger la constante d'intégration lors de la recherche $\ displaystyle v,$ parce que ça va tomber à la fin.
4. 4 Remplacez ces quatre expressions dans notre intégrale.
   • $\ displaystyle \ int xe ^ x \ mathrm d x = xe ^ x - \ int e ^ x \ mathrm d x$
   • Le résultat est que notre intégrale ne comprend plus qu'une fonction: la fonction exponentielle. Comme $\ displaystyle e ^ x$ est son propre antiderivatif avec une constante, l'évaluation est beaucoup plus facile.
5. 5 Évaluez l'expression résultante en utilisant tous les moyens possibles. N'oubliez pas d'ajouter la constante d'intégration, car les antidépresseurs ne sont pas uniques.
   • $\ displaystyle \ int xe ^ x \ mathrm d x = xe ^ x -e ^ x + C$

Deuxième partie de quatre:
Intégrale définie

1. 1 Considérons l'intégrale définie ci-dessous. Les intégrales définies nécessitent une évaluation aux limites. Alors que l'intégrale ci-dessous semble avoir une intégrale d'une seule fonction, la fonction tangente inverse, on peut dire que c'est le produit de la tangente inverse et de 1.
   • $\ displaystyle \ int _ 0 ^ 1 \ tan ^ - 1 x \ mathrm d x$
2. 2 Rappelez-vous la formule d'intégration par parties.
   • $\ displaystyle \ int _ a ^ b u \ mathrm d v = uv \ Bigg | _ a ^ b - \ int _ a ^ b v \ mathrm d u$
3. 3 Ensemble $\ displaystyle u$ et $\ displaystyle \ mathrm d v,$ et trouve $\ displaystyle \ mathrm d u$ et $\ displaystyle v$. Puisque la dérivée d’une fonction trigonométrique inverse est algébrique et donc plus simple, nous définissons $\ displaystyle u = \ tan ^ - 1 x$ et $\ displaystyle \ mathrm d v = \ mathrm d x.$ Cela se traduit par $\ displaystyle \ mathrm d u = \ frac 1 1 + x ^ 2 \ mathrm d x$ et $\ displaystyle v = x.$
4. 4 Remplacez ces expressions dans notre intégrale.
   • $\ displaystyle \ int _ 0 ^ 1 \ tan ^ - 1 x \ mathrm d x = x \ tan ^ - 1 x \ Bigg | _ 0 ^ 1 - \ int _ 0 ^ 1 \ frac x 1 + x ^ 2 \ mathrm d x$
5. 5 Évaluer l'intégrale simplifiée en utilisant la substitution u. Le numérateur est proportionnel à la dérivée du dénominateur, donc u-subbing est idéal.
   • Laisser $\ displaystyle u = 1 + x ^ 2.$ alors $\ displaystyle \ mathrm d u = 2x \ mathrm d x.$ Soyez prudent en changeant vos limites.
     • $\ displaystyle \ begin aligné \ int _ 0 ^ 1 \ frac x 1 + x ^ 2 \ mathrm d x & = \ frac 1 2 \ int _ 1 ^ 2 \ frac 1 u \ mathrm d u \ & = \ frac 1 2 \ ln 2 \ fin aligné$
6. 6 Évaluer le $\ displaystyle uv$ expression pour compléter l'évaluation de l'intégrale d'origine. Soyez prudent avec les signes.
   • $\ displaystyle \ int _ 0 ^ 1 \ tan ^ - 1 x \ mathrm d x = \ frac \ pi 4 - \ frac 1 2 \ ln 2$

Troisième partie de quatre:
Intégration répétée par pièces

1. 1 Considérons l'intégrale ci-dessous. Parfois, vous pouvez vous retrouver avec une intégrale qui nécessite plusieurs instances d'intégration par parties afin d'obtenir la réponse souhaitée. Une telle intégrale est ci-dessous.
   • $\ displaystyle \ int e ^ x \ cos x \ mathrm d x$
2. 2 Rappelez-vous la formule d'intégration par parties.
   • $\ displaystyle \ int u \ mathrm d v = uv- \ int v \ mathrm d u$
3. 3 Choisis un $\ displaystyle u$ et $\ displaystyle \ mathrm d v,$ et trouver le résultat $\ displaystyle \ mathrm d u$ et $\ displaystyle v$. L'une des fonctions est la fonction exponentielle, en la définissant comme $\ displaystyle u$ ne nous mènerons nulle part. Au lieu de cela, laissez $\ displaystyle u = \ cos x$ et $\ displaystyle \ mathrm d v = e ^ x \ mathrm d x.$ Ce que nous trouvons est que la dérivée seconde de $\ displaystyle u$ est simplement le négatif de lui-même. C'est, $\ displaystyle \ frac \ mathrm d ^ 2 \ mathrm d x ^ 2 \ cos x = - \ cos x.$ Cela signifie que nous devons intégrer deux fois les pièces pour obtenir un résultat intéressant.
   • $\ displaystyle \ mathrm d u = - \ sin x$
   • $\ displaystyle v = e ^ x$
4. 4 Remplacez ces expressions dans notre intégrale.
   • $\ displaystyle \ begin aligné \ int e ^ x \ cos x \ mathrm d x & = e ^ x \ cos x- \ int -e ^ x \ sin x \ mathrm d x \ & = e ^ x \ cos x + \ int e ^ x \ sin x \ mathrm d x \ end aligné$
5. 5 Effectuer l'intégration par pièces sur le $\ displaystyle v \ mathrm d u$ intégral. Soyez prudent avec les signes.
   • $\ displaystyle u = \ sin x, \, \ mathrm d v = e ^ x \ mathrm d x, \, \ mathrm d u = \ cos x \ mathrm d x, \, v = e ^ x$
   • $\ displaystyle \ int e ^ x \ sin x \ mathrm d x = e ^ x \ sin x- \ int e ^ x \ cos x \ mathrm d x$
   • $\ displaystyle \ int e ^ x \ cos x \ mathrm d x = e ^ x \ cos x + e ^ x \ sin x- \ int e ^ x \ cos x \ mathrm d x$
6. 6 Résoudre pour l'intégrale originale. Dans ce problème, nous avons constaté qu'en intégrant deux fois les pièces par parties, l'intégrale d'origine est apparue dans le travail. Au lieu de réaliser l’intégration par pièces sans fin, ce qui ne nous mènera nulle part, nous pouvons le résoudre à la place. N'oubliez pas la constante d'intégration à la toute fin.
   • $\ displaystyle \ begin aligné 2 \ int e ^ x \ cos x \ mathrm d x & = e ^ x \ cos x + e ^ x \ sin x \\ int e ^ x \ cos x \ mathrm d x & = \ frac 1 2 e ^ x \ cos x + \ frac 1 2 e ^ x \ sin x + C \ end aligné$

Partie quatre de quatre:
Dérivation de l'intégration par formule de pièces

1. 1 Considérons l'antidivative de $\ displaystyle g (x)$. Nous appellerons cette fonction $\ displaystyle G (x),$ où $\ displaystyle G$ est une fonction qui satisfait $\ displaystyle G ^ \ prime = g.$
2. 2 Calculer la dérivée de $\ displaystyle fG$. Comme il s’agit d’un produit de deux fonctions, nous utilisons la règle produit. Les esprits pointus verront intuitivement l'intégration résultant de la formule des composants comme étroitement liée à la règle du produit, tout comme la substitution par u est la contrepartie de la règle de la chaîne.
   • $\ displaystyle \ begin aligné \ frac \ mathrm d \ mathrm d x fG & = fG ^ \ prime + f ^ \ prime G \ & = fg + f ^ \ prime G \ end aligné$
3. 3 Prendre l'intégrale des deux côtés en ce qui concerne $\ displaystyle x$. L'expression ci-dessus dit que $\ displaystyle fG$ est l'antidérivation du côté droit, nous intégrons donc les deux côtés pour récupérer l'intégrale du côté gauche.
   • $\ displaystyle \ int (fg + f ^ \ prime G) \ mathrm d x = fG$
4. 4 Réorganiser pour isoler l’intégrale de $\ displaystyle fg$.
   • $\ displaystyle \ int fg \ mathrm d x = fG- \ int f ^ \ prime G \ mathrm d x$
   • Le but de l'intégration par parties est vu dans l'expression ci-dessus. Nous intégrons $\ displaystyle f ^ \ prime G$ au lieu de $\ displaystyle fg,$ et si utilisé correctement, cela se traduit par une évaluation plus simple.
5. 5 Modifiez les variables pour récupérer la forme compacte familière. Nous laissons $\ displaystyle u = f, \, v = G, \, \ mathrm d u = f prime \ mathrm d x, \, \ mathrm d v = g \ mathrm d x.$
   • $\ displaystyle \ int u \ mathrm d v = uv- \ int v \ mathrm d u$
   • En général, il n'y a pas de processus systématique permettant de rendre l'intégrale plus facile à évaluer. Cependant, il arrive souvent que nous voulons un $\ displaystyle u$ dont le dérivé est plus facile à gérer et $\ displaystyle \ mathrm d v$ cela peut facilement être intégré.
   • Pour les intégrales définies, il est facile de montrer que la formule est valable lors de l'écriture des limites pour les trois termes, même s'il est important de se rappeler que les limites sont des limites de la variable. $\ displaystyle x.$
     • $\ displaystyle \ int _ a ^ b u \ mathrm d v = uv \ Bigg | _ a ^ b - \ int _ a ^ b v \ mathrm d u$