Les triangles semblables sont deux triangles qui ont les mêmes angles et les côtés correspondants qui ont des proportions égales.[1] La démonstration de triangles similaires fait référence à un processus géométrique par lequel vous fournissez des preuves pour déterminer que deux triangles ont en commun suffisamment pour être considérés comme similaires. En utilisant des théorèmes géométriques simples, vous pourrez facilement prouver que deux triangles sont similaires.

Première partie de quatre:
Utilisation du théorème d'angle

  1. 1 Définir le théorème de l'angle d'angle (AA). On peut prouver que deux triangles sont similaires par le théorème de l'angle d'angle qui dit: si deux triangles ont deux angles congruents, alors ces triangles sont semblables.
    • Ce théorème est aussi appelé le théorème de l'angle-angle-angle (AAA) car si deux angles du triangle sont congruents, le troisième angle doit également être congru. En effet, les angles d’un triangle doivent être égaux à 180 °.[2]
  2. 2 Identifiez la mesure d'au moins deux angles dans l'un des triangles. À l'aide d'un rapporteur, mesurez le degré d'au moins deux angles sur le premier triangle. Étiquetez les angles du triangle pour les suivre.
    • Choisissez deux angles sur le triangle à mesurer.
    • Exemple: Le triangle ABC a deux angles qui mesurent 30 ° et 70 °.
  3. 3 Mesurer au moins deux des angles du deuxième triangle. Encore une fois, utilisez un rapporteur pour mesurer deux des angles du deuxième triangle. Si les deux angles sont identiques sur les deux triangles, les triangles sont similaires.
    • Rappelez-vous que si deux angles d'un triangle sont égaux, alors tous les trois sont égaux.
    • Exemple: Le deuxième triangle, DEF, a également deux angles qui mesurent 30 ° et 70 °.
  4. 4 Utilisez le théorème angle-angle pour la similarité. Une fois que vous avez identifié les angles congruents, vous pouvez utiliser ce théorème pour prouver que les triangles sont similaires. Indiquer que les mesures des angles entre les deux triangles sont identiques et citer le théorème d’angle-angle comme preuve de leur similarité.[3]
    • Il est possible qu'un triangle avec trois angles identiques soit également conforme, mais il devrait également avoir des longueurs de côté identiques.
    • Exemple: les deux triangles ayant deux angles identiques, ils sont similaires.
    • Note: Si les deux triangles n’avaient pas d’angles identiques, ils ne seraient pas similaires. Par exemple: Le triangle ABC a des angles qui mesurent 30 ° et 70 ° et le triangle DEF a des angles qui mesurent 35 ° et 70 °. Comme 30 ° ne correspond pas à 35 °, les triangles ne sont pas similaires.

Deuxième partie de quatre:
Utilisation du théorème latéral

  1. 1 Définir le théorème de l'angle latéral (SAS) pour la similarité. Lorsqu'un triangle a deux côtés qui sont dans la même proportion avec un autre triangle et dont l'angle est égal, ces triangles sont similaires.[4]
    • Veillez à ne pas confondre ce théorème avec le théorème Side-Angle-Side pour la congruence. Pour la congruence, les deux côtés avec leur angle inclus doivent être identiques; pour des raisons de similarité, les proportions des côtés doivent être identiques et l'angle doit être identique.
    • Par exemple: Triangle ABC et DEF sont similaires, c'est l'angle A = angle D et AB / DE = AC / DF.
  2. 2 Mesurez les deux mêmes côtés de chaque triangle. À l'aide d'une règle, mesurez deux côtés du triangle ABC et étiquetez-les avec cette mesure. Assurez-vous que le triangle DEF est orienté dans la même direction et mesurez les deux mêmes côtés. Étiquetez ces côtés également.
    • Exemple: Mesures du triangle ABC; côté AB = 4 cm et côté AC = 8 cm. Mesures du triangle DEF; côté DE = 2 cm et côté DF = 4 cm.
  3. 3 Identifiez la mesure de l'angle entre ces deux côtés. À l'aide d'un rapporteur, mesurez l'angle inclus ou l'angle entre les deux côtés déjà mesurés. Pour ce théorème, la mesure de l'angle doit être identique dans les deux triangles.
    • Exemple: L’angle A du triangle ABC est de 26 °. L'angle D du triangle DEF est également de 26 °.
  4. 4 Calculez la proportion des longueurs de côté entre les deux triangles. Pour utiliser le théorème SAS, les côtés des triangles doivent être proportionnels l'un à l'autre. Pour calculer cela, utilisez simplement la formule AB / DE = AC / DF.
    • Exemple: AB / DE = AC / DF; 4/2 = 8/4; 2 = 2. Les proportions des deux triangles sont égales.
  5. 5 Appliquez le théorème côté angle pour prouver la similarité. Une fois que vous avez déterminé que les proportions des deux côtés d'un triangle et leur angle inclus sont égaux, vous pouvez utiliser le théorème SAS dans votre épreuve.
    • Exemple: Parce que AB / DE = AAC / DF et l’angle A = angle D, le triangle ABC est similaire au triangle DEF.
    • Remarque: Si l'angle A n'était pas égal à l'angle D, les triangles ne seraient pas similaires. De plus, si les proportions n'étaient pas égales, les triangles ne seraient pas similaires.

Troisième partie de quatre:
Utilisation du théorème latéral

  1. 1 Définir le théorème SSS (Side-Side-Side) pour la similarité. Deux triangles seraient considérés comme similaires si les trois côtés des deux triangles avaient la même proportion. Les côtés mesurant 2: 4: 6 et 4: 8: 12 fourniraient une preuve de similitude.
    • Attention à ne pas confondre ce théorème avec le théorème Side-Side-Side pour la congruence: lorsque deux triangles ont trois côtés identiques, ils sont congruents. Le théorème de similarité ne concerne que les proportions des trois côtés.
    • Par exemple: Dans les triangles ABC et DEF, les triangles sont similaires si AB / DE = AC / DF = BC / EF.
  2. 2 Mesurez les côtés de chaque triangle. À l'aide d'une règle, mesurez les trois côtés de chaque triangle. Étiquetez chaque côté pour garder une trace de toutes les mesures. Veillez à utiliser les mêmes unités pour chaque mesure des côtés du triangle.
    • Exemple: le triangle ABC a des côtés AB = 10 cm, BC = 15 cm, AC = 20 cm et le triangle DEF a des côtés DE = 2 cm, EF = 3 cm et DF = 4 cm.
  3. 3 Calculez les proportions entre les côtés de chaque triangle. Pour que le théorème de SSS soit applicable, les trois côtés de chaque triangle doivent être proportionnels l'un à l'autre. En utilisant les mesures latérales, calculez les proportions en utilisant la formule AB / DE = AC / DF = BC / EF.[5]
    • Exemple: AB / DE = AC / DF = BC / EF; 10/2 = 20/4 = 15/3; 5 = 5 = 5.
  4. 4 Appliquez le théorème Side-Side-Side pour prouver la similarité. Si vous avez déterminé que les proportions des trois côtés des triangles sont égales, vous pouvez utiliser le théorème SSS pour prouver que ces triangles sont similaires.[6]
    • Exemple: Parce que AB / DE = AC / DF = BC / EF, le triangle ABC et le triangle DEF sont similaires.
    • Remarque: Si AB / DE ≠ AC / DF ≠ BC / EF, les triangles ne seraient pas similaires.

Partie quatre de quatre:
Écrire une preuve

  1. 1 Étudiez le format d'une preuve formelle. Une épreuve commence par une déclaration d’information donnée appelée déclaration d’hypothèse. Vous devrez fournir une liste d'informations pertinentes ainsi que des preuves à l'appui de chaque déclaration.
  2. 2 Développez une hypothèse pour résoudre le problème ou complétez la preuve. Vous devrez créer un graphique qui comporte généralement deux colonnes. Cette première colonne contiendra vos déclarations, tandis que la seconde fournira votre preuve.[7]
    • Assurez-vous que la dernière ligne de votre colonne de déclaration correspond toujours à la déclaration d'hypothèse. Les rangées du milieu seront où vous montrez votre travail pendant que vous résolvez le problème. Toutes les déclarations que vous fournissez, ainsi que vos pièces justificatives, doivent toujours se référer aux chiffres décrits dans la déclaration d'hypothèse.
  3. 3 Tracez un diagramme des chiffres décrits dans l’hypothèse si une illustration n’a pas déjà été fournie. Utilisez tous les détails fournis par l'hypothèse. Assurez-vous de dessiner la figure suffisamment grande pour que vous puissiez facilement distinguer ces détails. Étiquetez tous les points décrits et assurez-vous d'inclure toute information provenant de l'instruction concernant les lignes parallèles ou les angles congruents.
  4. 4 Notez les informations données. Pour tout problème, vous recevrez des informations sur les mesures des angles et des côtés des deux triangles que vous essayez de prouver. La première étape pour identifier le théorème correct à utiliser consiste à écrire les informations que vous connaissez déjà.
    • Si aucun diagramme n'est fourni, dessinez les triangles, puis étiquetez leurs angles et leurs côtés avec les informations données.
  5. 5 Choisissez le théorème qui correspond à l'information donnée. Une fois que vous avez écrit vos informations et appris les trois théorèmes possibles, choisissez celui qui correspond aux informations données. Si plusieurs théorèmes s'appliquent, choisissez-en un pour votre épreuve.
    • Si aucun de ces théorèmes ne correspond à l'information donnée, les triangles ne sont pas similaires.
  6. 6 Écrivez la preuve Concevoir une stratégie pour résoudre la preuve. Il existe trois postulats différents, ou théories mathématiques, qui s'appliquent à des triangles similaires. Chacun d'entre eux fournira des preuves suffisantes pour prouver que les triangles en question sont similaires.
    • Rassemblez vos données et les théorèmes pertinents et écrivez la preuve étape par étape.