Comment trouver la surface des cônes

La surface d'un cône est la somme de la surface latérale et de la surface de base. Si vous connaissez le rayon de la base et l'inclinaison du cône, vous pouvez facilement trouver la surface totale en utilisant une formule standard. Parfois, cependant, vous pouvez avoir le rayon et une autre mesure, comme la hauteur ou le volume du cône. Dans ces cas, vous pouvez utiliser le théorème de Pythagore et la formule du volume pour obtenir la hauteur de la pente, et donc la surface du cône.

Méthode One of Three:
Si vous connaissez le rayon et la hauteur de l'inclinaison

1. 1 Configurez la formule pour la surface du cône. La formule est $\ displaystyle \ text SA = (\ pi) (r) (s) + (\ pi) (r ^ 2)$, où $\ displaystyle \ text SA$ est égal à la surface du cône, $\ displaystyle r$ est égal à la longueur du rayon de la base du cône, et $\ displaystyle s$ est égal à la hauteur oblique du cône.^[1]
   • La surface totale d'un cône est égale à la somme de la surface latérale ($\ displaystyle (\ pi) (r) (s)$) et la surface de base ($\ displaystyle (\ pi) (r ^ 2)$), puisque la base d’un cône est un cercle.
   • La hauteur inclinée est la distance diagonale entre le sommet supérieur du cône et le bord de la base.^[2]
   • Assurez-vous de ne pas confondre la «hauteur de la taille» avec la «hauteur», qui correspond à la distance perpendiculaire entre le sommet supérieur et la base.^[3]
2. 2 Branchez la valeur du rayon dans la formule. Cette longueur devrait être donnée ou vous devriez pouvoir la mesurer. Assurez-vous de remplacer les deux $\ displaystyle r$ variables dans la formule.
   • Par exemple, si le rayon de la base d'un cône est de 5 cm, votre formule ressemblera à ceci: $\ displaystyle \ text SA = (\ pi) (5) (s) + (\ pi) (5 ^ 2)$.
3. 3 Branchez la valeur de la hauteur d'inclinaison dans la formule. Cette longueur devrait être donnée ou vous devriez pouvoir la mesurer.
   • Par exemple, si la hauteur oblique d'un cône est de 10 cm, votre formule ressemblera à ceci: $\ displaystyle \ text SA = (\ pi) (5) (10) + (\ pi) (5 ^ 2)$.
4. 4 Calculer la surface latérale du cône ($\ displaystyle (\ pi) (r) (s)$). Pour ce faire, multipliez le rayon, la hauteur d'inclinaison et $\ displaystyle \ pi$. Si vous n'utilisez pas de calculatrice, utilisez 3.14 comme valeur de $\ displaystyle \ pi$.
   • Par exemple:
     $\ displaystyle \ text SA = (\ pi) (5) (10) + (\ pi) (5 ^ 2)$
     $\ displaystyle \ text SA = (3.14) (5) (10) + (\ pi) (5 ^ 2)$
     $\ displaystyle \ text SA = 157 + (\ pi) (5 ^ 2)$
5. 5 Calculer l'aire de la base du cône ($\ displaystyle (\ pi) (r ^ 2)$). Pour ce faire, placez le rayon de la base, puis multipliez-le par $\ displaystyle \ pi$. Si vous n'utilisez pas de calculatrice, utilisez 3.14 comme valeur de $\ displaystyle \ pi$.
   • Par exemple:
     $\ displaystyle \ text SA = 157 + (\ pi) (5 ^ 2)$
     $\ displaystyle \ text SA = 157+ (3.14) (25)$
     $\ displaystyle \ text SA = 157 + 78,5$
6. 6 Ajouter la surface latérale et la surface de base du cône. Cela vous donnera la surface totale du cône, en unités carrées.
   • Par exemple:
     $\ displaystyle \ text SA = 157 + 78,5 = 235,5$
     Ainsi, la surface d'un cône d'un rayon de 5 cm et d'une hauteur inclinée de 10 cm est de 235,5 centimètres carrés.

Méthode deux sur trois:
Si vous connaissez le rayon et la hauteur perpendiculaire

1. 1 Configurez la formule du théorème de Pythagore. La formule est $\ displaystyle a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2$, où $\ displaystyle a$ et $\ displaystyle b$ égale les longueurs latérales d'un triangle rectangle, et $\ displaystyle c$ est égal à la longueur de l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit).^[4]
   • Assurez-vous de ne pas confondre la hauteur du cône avec la hauteur oblique, qui correspond à la distance diagonale entre le sommet supérieur du cône et le bord de la base.^[5]
   • La hauteur est la distance perpendiculaire entre le sommet supérieur et la base.^[6]
2. 2 Branchez la longueur du rayon et la hauteur dans la formule. Vous utiliserez le rayon et la hauteur du cône comme les deux côtés d'un triangle rectangle. Remplacer le rayon pour la variable $\ displaystyle a$ et la hauteur de la variable $\ displaystyle b$.
   • Par exemple, si le rayon d'un cône est de 5 cm et la hauteur de 12 cm, votre formule ressemblera à ceci: $\ displaystyle 5 ^ 2 + 12 ^ 2 = c ^ 2$.
3. 3 Carrez les longueurs du rayon et de la hauteur, puis ajoutez. Rappelez-vous que la quadrature d'un nombre signifie le multiplier par lui-même.
   • Par exemple:
     $\ displaystyle 5 ^ 2 + 12 ^ 2 = c ^ 2$
     $\ displaystyle 25 + 144 = c ^ 2$
     $\ displaystyle 169 = c ^ 2$
4. 4 Prenez la racine carrée de chaque côté de l'équation. Cela vous donnera la longueur de l'hypoténuse du triangle rectangle, qui est égale à la hauteur oblique du cône.^[7]
   • Par exemple:
     $\ displaystyle 169 = c ^ 2$
     $\ displaystyle \ sqrt 169 = \ sqrt c ^ 2$
     $\ displaystyle 13 = c$
     La hauteur inclinée du cône est donc de 13 cm.
5. 5 Configurez la formule pour la surface du cône. La formule est $\ displaystyle \ text SA = (\ pi) (r) (s) + (\ pi) (r ^ 2)$, où $\ displaystyle \ text SA$ est égal à la surface du cône, $\ displaystyle r$ est égal à la longueur du rayon de la base du cône, et $\ displaystyle s$ est égal à la hauteur oblique du cône.^[8]
   • La surface totale d'un cône est égale à la somme de la surface latérale ($\ displaystyle (\ pi) (r) (s)$) et la surface de base ($\ displaystyle (\ pi) (r ^ 2)$, puisque la base d'un cône est un cercle.
6. 6 Branchez toutes les valeurs connues dans la formule. Le rayon doit être donné, et vous avez déjà calculé la hauteur d'inclinaison. Assurez-vous d'utiliser la hauteur d'inclinaison dans la formule de la surface et non la hauteur (perpendiculaire). Si vous n'utilisez pas de calculatrice, utilisez 3.14 pour $\ displaystyle \ pi$
   • Par exemple, pour un cône d'un rayon de 5 cm et d'une hauteur oblique de 13 cm, votre formule ressemblera à ceci: $\ displaystyle \ text SA = (3.14) (5) (13) + (3.14) (5 ^ 2)$.
7. 7 Multipliez pour trouver la zone latérale et la zone de base. Ensuite, ajoutez ces produits ensemble. La somme vous donnera la surface totale du cône en unités carrées.
   • Par exemple:
     $\ displaystyle \ text SA = (3.14) (5) (13) + (3.14) (5 ^ 2)$
     $\ displaystyle \ text SA = 204.1+ (3.14) (25)$
     $\ displaystyle \ text SA = 204.1 + 78.5$
     $\ displaystyle \ text SA = 282,6$
     Ainsi, la surface d'un cône d'un rayon de 5 cm et d'une hauteur de 12 cm est de 282,6 centimètres carrés.

Méthode trois sur trois:
Si vous connaissez le rayon et le volume

1. 1 Configurez la formule pour le volume d'un cône. La formule est $\ displaystyle V = \ frac 1 3 (\ pi) (r ^ 2) (h)$, où $\ displaystyle V$ est égal au volume du cône, $\ displaystyle r$ est égal au rayon de la base du cône, et $\ displaystyle h$ est égal à la hauteur perpendiculaire du cône.^[9]
   • Assurez-vous de ne pas confondre la hauteur du cône avec la hauteur oblique, qui correspond à la distance diagonale entre le sommet supérieur du cône et le bord de la base.^[10]
   • La hauteur est la distance perpendiculaire entre le sommet supérieur et la base.^[11]
2. 2 Branchez les valeurs connues dans la formule. Vous devez connaître le volume et la longueur du rayon. Sinon, vous ne pouvez pas utiliser cette méthode. Si vous n'utilisez pas de calculatrice, utilisez 3.14 pour $\ displaystyle \ pi$.
   • Par exemple, si vous savez qu'un cône a un volume de 950 centimètres cubes et un rayon de 6 centimètres, votre formule ressemblera à ceci: $\ displaystyle 950 = \ frac 1 3 (3,14) (6 ^ 2) (h)$.
3. 3 Terminez la multiplication. Tout d'abord, placez le rayon au carré, puis multipliez cette valeur par $\ displaystyle \ pi$. Ensuite, multipliez ce produit par $\ displaystyle \ frac 1 3$. Cela vous donnera le coefficient pour le $\ displaystyle h$ variable.
   • Par exemple:
     $\ displaystyle 950 = \ frac 1 3 (3,14) (6 ^ 2) (h)$
     $\ displaystyle 950 = \ frac 1 3 (3.14) (36) (h)$
     $\ displaystyle 950 = \ frac 1 3 (113.04) (h)$
     $\ displaystyle 950 = 37.68h$
4. 4 Diviser chaque côté par le $\ displaystyle h$ coefficient. Cela vous donnera la valeur de $\ displaystyle h$, qui est la hauteur perpendiculaire du cône. Vous aurez besoin de cette information pour trouver l'inclinaison du cône, ce qui est nécessaire pour déterminer la surface.
   • Par exemple:
     $\ displaystyle 950 = 37.68h$
     $\ displaystyle \ frac 950 37.68 = \ frac 37.68h 37.68$
     $\ displaystyle 25,21 = h$
     Donc, la hauteur du cône est de 25,21 cm.
5. 5 Configurez la formule du théorème de Pythagore. La formule est $\ displaystyle a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2$, où $\ displaystyle a$ et $\ displaystyle b$ égale les longueurs latérales d'un triangle rectangle, et $\ displaystyle c$ est égal à la longueur de l'hypoténuse (le côté opposé à l'angle droit).^[12]
6. 6 Branchez la longueur du rayon et la hauteur dans la formule. Vous utiliserez le rayon et la hauteur du cône comme les deux côtés d'un triangle rectangle. Remplacer le rayon pour la variable $\ displaystyle a$ et la hauteur de la variable $\ displaystyle b$
   • Par exemple, si le rayon d'un cône est de 6 cm et la hauteur de 25,21 cm, votre formule ressemblera à ceci: $\ displaystyle 6 ^ 2 + 25,21 ^ 2 = c ^ 2$.
7. 7 Résoudre pour $\ displaystyle c$. Cela vous donnera la longueur de l'hypoténuse du triangle rectangle, qui est également la hauteur oblique du cône.
   • Par exemple:
     $\ displaystyle 6 ^ 2 + 25,21 ^ 2 = c ^ 2$
     $\ displaystyle 36 + 635,54 = c ^ 2$
     $\ displaystyle 671,54 = c ^ 2$
     $\ displaystyle \ sqrt 671.54 = \ sqrt c ^ 2$
     $\ displaystyle 25,91 = c$
     La hauteur inclinée du cône est donc de 25,91 cm.
8. 8 Configurez la formule pour la surface du cône. La formule est $\ displaystyle \ text SA = (\ pi) (r) (s) + (\ pi) (r ^ 2)$, où $\ displaystyle \ text SA$ est égal à la surface du cône, $\ displaystyle r$ est égal à la longueur du rayon de la base du cône, et $\ displaystyle s$ est égal à la hauteur oblique du cône.^[13]
   • La surface totale d'un cône est égale à la somme de la surface latérale ($\ displaystyle (\ pi) (r) (s)$) et la surface de base ($\ displaystyle (\ pi) (r ^ 2)$, puisque la base d'un cône est un cercle.
9. 9 Branchez toutes les valeurs connues dans la formule. Assurez-vous d'utiliser la hauteur d'inclinaison dans la formule de la surface et non la hauteur (perpendiculaire). Si vous n'utilisez pas de calculatrice, utilisez 3.14 pour $\ displaystyle \ pi$
   • Par exemple, pour un cône d'un rayon de 6 cm et d'une hauteur oblique de 25,91 cm, votre formule ressemblera à ceci: $\ displaystyle \ text SA = (3.14) (6) (25.91) + (3.14) (6 ^ 2)$.
10. 10 Multipliez pour trouver la zone latérale et la zone de base. Ensuite, ajoutez ces produits ensemble. La somme vous donnera la surface totale du cône en unités carrées.
    • Par exemple:
      $\ displaystyle \ text SA = (3.14) (6) (25.91) + (3.14) (6 ^ 2)$
      $\ displaystyle \ text SA = 488.14+ (3,14) (36)$
      $\ displaystyle \ text SA = 488.14 + 113.04$
      $\ displaystyle \ text SA = 601.18$
      Ainsi, la surface d'un cône d'un rayon de 6 centimètres et d'un volume de 950 centimètres cubes est de 601,18 centimètres carrés.